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河北省石家庄市2015届高三下学期二模考试数学(理)试题(含答案)

发布时间:

2015 届石家庄高中毕业班第二次模拟考试试卷

数学(理科)

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的)

1、已知集合U

? {y

|

y

?

log2

x, x

? 1}, P

?{y

|

y

?

1 x

,

x

?

2} ,则 CU

P

?

A. (0, 1) 2

B. (0, ??)

C.[1 , ??) 2

D. (??, 0) [1 , ??) 2

2、下列四个函数中,既是奇函数又是定义域上的单调递增的是

A. y ? 2?x

B. y ? tan x

C. y ? x3

D. y ? log3 x

3、已知复数 z 满足 (1? i)z ? i2015 (其中 i 为虚数单位),则 z 的虚部为

A. 1 2

B. ? 1 2

C. 1 i 2

D. ? 1 i 2

? ? 4、等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,已知 S3 ? a2 ? 5a1, a7 ? 2 ,则 a5 ?

A. 1 2

B. ? 1 2

C. 2

D. ?2

?x ? y ? 3

5、设变量

x,

y

满足约束条件

? ?

x

?

y

?

?1

,则目标

??2x ? y ? 3

函数 z ? 2x ? 3y 的最小值为

A.6

B.7

C.8

D.23

6、投掷两枚骰子,则点数之和是 8 的概率为

A. 5 36

B. 1 6

C. 2 15

D. 1 12

7、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

A. 10

B. 5

C. 20

D.4

3

3

3

8、执行右下方的程序框图,如果输入的 N ? 4 ,那么输出的 S 的值为

A.1? 1 ? 1 ? 1 234
C.1? 1 ? 1 ? 1 ? 1 2345

B.1? 1 ? 1 ? 1 2 3?2 4?3?2
D.1? 1 ? 1 ? 1 ? 1 2 3?2 4?3?2 5?4?3?2

9、在平面直角坐标系中,角? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半

轴重合,终边过点 P(sin ? , cos ? ) ,则 sin(2? ? ? ) ?

88

12

A. 3 2

B. ? 3 2

C. 1 2

D. ? 1 2

10、在四面体 S-ABC 中, SA ? 平面 ABC, ?BAC ? 120 , SA ? AC ? 2, AB ? 1,

则该四面体的外接球的表面积为

A.11?

B. 7?

C. 10? 3

D. 40? 3

11、已知 F 是抛物线 x2 ? 4 y 的焦点,直线 y ? kx ?1 与该抛物线交于第一象限

内的零点 A, B ,若 AF ? 3 FB ,则 k 的值是

A. 3

B. 3 2

C. 3 3

D. 2 3 3

12 、 设 函 数

f1

?

x?

?

x2,

f2

?x?

?

2(x

?

x2), ai

?

i 99

,i

?

0,1, 2,

,99

,记

Sk ?| 1fk ( ?a ) 0k f ( ? a ) 2k | ? f | 1 k a (

f) a (

)|

? ? | fk (a99 ) ? fk (a98 ) |, k ? 1, 2 ,则下列结论正确的是

A. S1 ? 1 ? S2

B. S1 ? 1 ? S2

C. S1 ? 1 ? S2

D. S1 ? 1 ? S2

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上。.
13、已知向量 a ? (2,1),b ? (x, ?1) ,且 a ? b 与 b 共线,则 x 的值为 14、已知 x8 ? a0 ? a1(x ?1) ? a2 (x ?1)2 ? ? a8 (x ?1)8 ,则 a7 ? 15、设点 P、Q 分别是曲线 y ? xe?x (e 是自然对数的底数)和直线 y ? x ? 3 上的动点,则 P、
Q 两点间距离的最小值为
16、在平面直角坐标系中有一点列 P1(a1, b1), P2 (a2 , b2 ), , Pn (an , bn ), 对 ?n ? N? ,点 Pn 在函数 y ? ax (0 ? a ? 1) 的图象上,又点 An (n, 0), Pn (an ,bn ), An?1(n ?1, 0) 构成等腰三角形,且

Pn An ? Pn An?1 若对 ?n ? N? ,以 bn , bn?1, bn?2 为边长能构成一个三角形,则 a 的取值范围是
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、(本小题满分 12 分)
在 ?ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,且满足 b cos A ? (2c ? a) cos(? ? B)
(1)求角 B 的大小;
(2)若 b ? 4, ?ABC 的面积为 3 ,求 a ? c 的值。
18、(本小题满分 12 分) 4 月 23 人是“世界读书日”,某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动,为了解本
校学生课外阅读情况,学校随机抽取了 100 名学生对其课外阅读时间进行调查,下面是根据 调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位:分钟)的频率分布直方图,若将日均课外阅 读时间不低于 60 分钟的学生称为“读书谜”,低于 60 分钟的学生称为“非读书谜”
(1)根据已知条件完成下面 2?2 的列联表,并据此判断是否有 99%的把握认为“读书谜”
与性别有关?
(2)将频率视为概率,现在从该校大量学生中,用随机抽样的方法每次抽取 1 人,共抽取 3 次,记被抽取的 3 人中的“读书谜”的人数为 X,若每次抽取的结果是相互独立的,求 X 的分布列,期望 E(X)和方程 D(X)

19、(本小题满分 12 分)
已知 PA ?平面 ABCD,CD ? AD, BA ? AD,CD ? AD ? AP ? 4, AB ?1。 (1)求证: CD ? 平面 ADP ; (2)M 为线段 CP 上的点,当 BM ? AC 时,求二面角 C ? AB ? M 的余弦值。

20、(本小题满分 12 分)

已知椭圆 C

:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 经过点 (1,

3 ) ,离心率为 2

3。 2

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)不垂直与坐标轴的直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,线段 AB 的垂直平分线交 y 轴于点

P(0, 1) ,若 cos ?APB ? 1 ,求直线 l 的方程。

3

3

21、(本小题满分 12 分)
已知函数 f ? x? ? ex ? ax ? 2,(e 是自然对数的底数, a ? R) 。

(1)求函数 f ? x? 的单调递增区间;
(2)若 k 为整数,a ?1,且当 x ? 0 时, k ? x f ?? x? ? 1 恒成立,其中 f ?? x? 为 f ? x? 的
x ?1 导函数,求 k 的最大值。

请考生在第(22)、(23)(24)三体中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分, 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上. 22、(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
如图: O 的直径 AB 的延长线于弦 CD 的延长线相交于 点 P,E 为 O 上一点, AE ? AC, DE 交 AB 于点 F。 (1)求证: O,C, D, F 四点共圆; (2)求证: PF ? PO ? PA? PB .

23、(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系

xOy

中,直线

l

的参数方程

??? x ?

?

2

?

1 2

t

(t

为参数),以坐标原点为极点,

? ??

y

?

3t 2

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为: ? ? 4cos? 。

(1)直线 l 的参数方程化为极坐标方程;

(2)求直线 l 的曲线 C 交点的极坐标( ? ? 0, 0 ? ? ? 2? )

24、(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
设函数 f ? x? ? 2x ? a ? 2x ?1 (a ? 0), g ?x? ? x ? 2 。 (1)当 a ?1时,求不等式 f ? x? ? g ? x? 的解集;

(2)若 f ?x? ? g ?x? 恒成立,求实数 a 的取值范围。

2015 年石家庄市高三数学第二次模拟考试 (理科答案)
一、选择题:

1-5 CCAAB 二、填空题:

6-10 AABAD

11-12 DB

13. ? 2

14.

8

15 3 2 2
三、解答题:

16. 5 ?1 ? a ? 1 2

17.解: (Ⅰ) Qbcos A ? (2c ? a)cos?? ? B?

?b cos A ? (?2c ? a) cos B …………………………1 分

?sin B cos A ? (?2sin C ? sin A) cos B …………………………3 分

?sin(A ? B) ? ?2sin C cos B

∴ cos B ? ? 1 …………………………5 分 2

∴ B ? 2? …………………………6 分 3

(Ⅱ)



S?ABC

=

1 2

ac

sin

B

?

3 得 a c=4…………………………8 分.

?(a+c ) 由余弦定理得 b2=a2+c2+ac

2
? ac ? 16 …………………10 分

∴ a+c ? 2 5 …………………………12 分

18.解(1)完成下面的 2? 2 列联表如下

非读书迷



40

读书迷 15

合计 55

女 合计

20

25

60

40

………………

45 100 3分

K 2 ? 100(40? 25 ?15? 20)2 ≈8.249 60? 40? 55? 45

8.249 > 6.635,故有 99%的把握认为“读书迷”与性别有关。...……………..6 分

(2)视频率为概率.则从该校学生中任意抽取 1 名学生恰为读书迷的概率为 2 . 由题意可 5



X~B(3,

2 5

),P(x=i)= ?3i

( 2)i (3)3?i 55

(i=0,1,2,3)………………8 分

从而分布列为

X

0

1

2

3

P

27

54

36

8

125

125

125

125

.……………… 10 分

E(x)=np= 6 (或 0.6),D(x)=np(1-p)= 18 (或 0.72) ……………… 12 分

5

25

19.(1)证明:
因为 PA⊥平面 ABCD,PA ? 平面 ADP,
所以平面 ADP⊥平面 ABCD. …………………………………………2 分 又因为平面 ADP∩平面 ABCD=AD,CD⊥AD, 所以 CD⊥平面 ADP. ……………………………………………………4 分

(2)AD,AP,AB 两两垂直,建立如图所示空间坐标系,
则 A(0,0,0),B(0,0,1), z
C(4,0,4),P(0,4,0),则 AB ? (0,0,1) , AC ? (4,0,4) ,
AP ? (0,4,0) , PC ? (4,?4,4) .………………………………6 分

设 M(x, y , z), PM ? ? PC (0 ? ? ? 1) ,则 PM ? (x, y ? 4, z) .

x y

?x ? 4?

所以 (x,

y

?

4,

z)

?

?

(4,?4,4)



? ?

y

?

4

?

4?



??z ? 4?

M (4?, 4 ? 4?, 4?), BM ? (4?, 4 ? 4?, 4? ?1) .

因为 BM⊥AC,所以 BM ? AC ? 0 , (4?, 4 ? 4?, 4? ?1) ? (4,0,4) ? 0 ,解得 ? ? 1 , 8

所以 M ?? 1 , 7 , 1 ?? ,. ?2 2 2?

…………………………………………8 分

设 n1 ? (x1, y1, z1) 为平面 ABM 的法向量,

则 ???n1 ? AB ? 0 ,又因为 AB ? (0,0,1) , AM ? ?? 1 , 7 , 1 ??

??n1 ? AM ? 0

?2 2 2?

所以

? ?

z1

?1

?? 2

? x1

0 ?

7 2

y1

?

1 2

z1

?

0

.

令 y1 ? 1 得 n1 ? (?7,1,0) 为平面 ABM 的一个法向量. 又因为 AP⊥平面 ABC,所以 n2 ? (0,4,0) 为平面 ABC 的一个法向量.…………………10 分

cos ?

n1, n2

??

n1 ? n2 | n1 | ? | n2

|

?

4

4 50

?

2 10



所以二面角 C—AB—M 的余弦值为 2 .…………………………12 分 10

法 2: 在平面 ABCD 内过点 B 作 BH⊥AC 于 H, 在平面 ACP 内过点 H 作 HM∥AP 交 PC 于点 M,连接 MB ………6 分, 因为 AP⊥平面 ABCD, 所以 HM⊥平面 ABCD.
又因为 AC ? 平面 ABCD,
所以 HM⊥AC.

又 BH∩HM=H, BH ? 平面 BHM,HM ? 平面 BHM,
所以 AC⊥平面 BHM. 所以 AC⊥BM,点 M 即为所求点. …………………………………………8 分

在直角 ?ABH 中,AH= 2 AB ? 2 ,

2

2

又 AC= CD2 ? DA2 ? 4 2 ,所以 AH ? 1 . AC 8
又 HM∥AP,所以在 ?ACP 中, PM ? 1 . PC 8
在平面 PCD 内过点 M 作 MN∥CD 交 DP 于点 N,则在 ?PCD中, PN ? 1 . PD 8
因为 AB∥CD,所以 MN∥BA.

连接 AN,由(1)知 CD⊥平面 ADP,所以 AB⊥平面 ADP.

所以 AB⊥AD,AB⊥AN.

所以∠DAN 为二面角 C—AB—M 的平面角.………………………10 分

在 ?PAD中,过点 N 作 NS∥PA 交 DA 于 S,则 AS ? 1 , AD 8

所以 AS= 1 , NS ? 7 PA ? 7 ,所以 NA= 5 2 .

2

82

2

所以 cos ?DAN ? cos ?SAN ? AS ? 2 . NA 10

所以二面角 C—AB—M 的余弦值为 2 . 10

…………………………………………12 分

?

20.解:(Ⅰ)由题意得

?? ?

c= 3 a2

,解得 a=2 , b ?1.

?1 ?? a2

?

3 4b2

?1

所以椭圆 C 的方程是 x2 ? y2 ? 1 . 4

……………………… 4 分

(Ⅱ)设直线 l 的方程设为 y ? kx ? t ,设 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ,

? y ? kx ? t

联立

? ?

x2

?? 4

?

y2

?1

消去

y



(1? 4k 2 )x2

? 8ktx ? 4t2

?4?0

则有

x1

?

x2

?

?8kt 1? 4k 2



x1x2

?

4t2 ? 4 1? 4k 2



由 ? ? 0 ? 4k 2 ?1 ? t2 ;

y1

?

y2

?

kx1

?t

?

kx2

?

t

?

k ( x1

?

x2 )

?

2t

?

2t 1? 4k 2

…………… 6 分



A, B 的中点为 D?m, n? ,则 m ?

x1 ? x2 2

?

?4kt 1? 4k

2

,n

?

y1

? 2

y2

?

1

?

t 4k

2

因为直线 PD 于直线 l

垂直,所以 kPD

?

?

1 k

?

1?n 3 ?m

得t 1? 4k 2

?

?1 9

………… 8 分

? ? 0 ? 4k2 ?1 ? t2 ? ?9 ? t ? 0

因为 cos ?APB ? 2 cos2 ?APD ?1 ? ? 1 所以 cos ?APD ? 3 , ? tan ?APD ? 2

3

3

AB 所以 2 ?
PD

?1?t 2 ,由点到直线距离公式和弦长公式可得 PD ? 3 ,
1? k2

? ? ? ? AB ?

1? k2

???

x1

?

x2

?2

?

4x1x2

? ?

?

1? k2

?? ?????

?8kt 1? 4k 2

2
? ??

?

4

4t2 ? 4 1? 4k 2

? ? ??

4 ?1? k2 ??1? 4k2 ? t2 ?
? 1? 4k 2

………10 分

AB 2 ?1? k 2 ??1? 4k 2 ? t2 ?

由2?

1? 4k 2

?

PD

?1?t

3

1? k2

2

和t 1? 4k 2

?

? 1 解得 9

t ? ?1???9,0? , k ? ? 2

直线 l 的方程为 y ? 2x ?1或 y ? ? 2x ?1. ………… 12 分

解法二

(Ⅱ)设直线 l 的斜率为 k ,设 A(x1, y1), B(x2, y2 ) , A, B 的中点为 D? x0, y0 ? ,

所以 k ? y1 ? y2 x1 ? x2

, x0

?

x1 ? x2 2



y0

?

y1 ? y2 2

由题意

? ?? ? ? ??

x12 4 x22 4

? ?

y12 y22

?1 ?1

(1)

(2)

(1)



?(2)

式得

?

x1

?

x2

??
4

x1

?

x2

?

?

?

y1

?

y2

?

?

y1

?

y2

?

?

0

?

1 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 ? 1 ? k y0 ? 0

4 ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ?

4 x0

又因为直线 PD 与直线 l 垂直,所以

y0

?1 3

k

? ?1

x0



?
?
? ?
? ? ?

1 ? k y0 4 x0

y0

?1 3

k

x0

? ?

0 ?1

解得

?
?? ?
? ??

y0 x0

? ?

?
4 9

1 9
k

…………… 6 分

因为 cos ?APB ? 2 cos2 ?APD ?1 ? ? 1 所以 cos ?APD ? 3 , ? tan ?APD ? 2

3

3

AB 所以 2 ? 2 ,
PD

………8 分

PD ?

? x0

? 0?2

?

? ??

y0

?

1 3

?2 ??

?

x02

?

? ??

4 ?2 9 ??

?

4 9

k2 ?1

设直线 l

的方程设为

y

?

y0

?

k

?x

?

x0

?

?

y

?

kx

?

4k 2 ?1 9



? ? 联立

? ?? ? ? ??

y

? kx ? 4k 2 ?1 9
x2 ? y2 ?1 4

消去 y 得

8k (1? 4k 2 )x2 ?

4k 2 ?1 9

x

?

4

? ? ?

4k

2 ?1 9

?2 ? ?

?

4

?

0

x1

?

x2

?

2x0

?

8 9

k



x1x2

?

? 4?
?

4k 2 ?1?2

9

? ?

1? 4k 2

?

4



由 ? ? 0 ? k2 ? 20

AB ?

? ? 1? k2

??? x1

?

?x2 2

?

4x1

x2

? ?

?

? ? 1? k2

? ? ?? ????

8k 9

2
? ? ?

?

4

4

? ? ?

4k 2 ?1 9
1? 4k

2
? ? ?
2

?

4

? ? ? ? ?

??

??

? ? ? 8 9

1? k2

? 20 ? k 2 ?

? ?

1?

4k 2

? ?

………10 分

AB 4

2

9 ?

PD

? ? 1? k2

? 20 ? k 2 ?

? ?

1

?

4k

2

? ?

?

8 1? k2

9

2 ,解得 k ? ? 2 ,满足 ? ? 0 ? k2 ? 20 .

,由 y ? kx ? 4k 2 ?1 得直线 l 的方程为 y ? 2x ?1或 y ? ? 2x ?1. ……… 12 分 9

21.解析:(1) f / (x) ? e x ? a, x ? R .

若 a ? 0 ,则 f / (x) ? 0 恒成立,所以, f (x) 在区间 ?? ?,??? 上单调递增.........2 分

若 a ? 0 ,当 x ? ?ln a,???时, f / (x) ? 0 , f (x) 在 ?ln a,??? 上单调递增.

综上,当 a ? 0时, f (x) 的增区间为 ?? ?,??? ;当 a ? 0 时, f (x) 的增区间为 ?ln a,??? .

..................................

...................... 4 分

(2)由于 a ? 1,所以, k ? x f ?(x) ? 1 ? (k ? x)(ex ?1) ? x ?1 x ?1

? ? 当 x ? 0 时,ex ?1 ? 0 ,故 (k ? x) e x ?1 ? x ?1? k ?

x ex

?1? ?1

x

————①......6 分

? ? ? ? 令

g

?

x?

?

x ?1 ex ?1

?

x

(x

?

0)

,则

g/

?x?

?

? xex ?1 ex ?1 2

?1

?

e x (e x ex

?x ?1

?
2

2) .

函数 h(x) ? e x ? x ? 2 在 ?0,?? ?上单调递增,而 h(1) ? 0, h(2) ? 0.

所以 h(x) 在 ?0,?? ?上存在唯一的零点,

故 g / (x) 在 ?0,?? ? 上存在唯一的零点. .............................8 分

设此零点为? ,则? ? ?1,2? .

当 x ? ?0,? ?时, g / (x) ? 0 ;当 x ? ?? ,??? 时, g / (x) ? 0 ;

所 以 , g(x) 在 ?0,?? ? 上 的 最 小 值 为 g(? ) . 由 g / (? ) ? 0, 可 得

e? ? ? ? 2,
....................10 分

.....................................

所以, g(? ) ? ? ?1? ?2,3?. 由于①式等价于 k ? g(?) .
故整数 k 的最大值为 2. .............................................12 分
22.解析:(1)连接 OC , OE , 因为 AE ? AC ,所以 ?AOC ? ?AOE ? 1 ?COE ,.................2 分
2 又因为 ?CDE ? 1 ?COE ,
2 则 ?AOC ? ?CDE ,
所以 O,C, D, F 四点共圆.………………5 分 (2)因为 PBA 和 PDC 是 O 的两条割线, 所以 PD PC ? PA? PB ,……………7 分 因为 O,C, D, F 四点共圆, 所以 ?PDF ? ?POC ,又因为 ?DPF ? ?OPC , 则 ?PDF ∽ ?POC , 所以 PD ? PF ,即 PF PO ? PD ? PC
PO PC 则 PF PO ? PA? PB .………………10 分

23 . 解 析 :( 1 ) 将 直 线

l:

??? x ?

?

2?

1t 2



t

为参数)消去参数

t

,化为普通方程

? ??

y

?

3t 2

3x ? y ? 2 3 ? 0 ,……………………2 分



? ? ?

x y

? ?

? ?

cos? sin ?

代入

3x ? y ? 2

3?0得

3? cos? ? ? sin? ? 2

3 ? 0 .…………4 分

(2)方法一: C 的普通方程为 x2 ? y2 ? 4x ? 0 .………………6 分



?? ?

??

3x ? y ? 2 3 ? 0 x2 ? y2 ? 4x ? 0

解得:

?? ? ??

y

x ?

?1 ?

3



?? ? ??

x? y?

3 3

………………8



所以 l 与 C 交点的极坐标分别为: (2, 5? ) , (2 3, ? ) .………………10 分

3

6

方法二:由

?? ?

3? cos? ? ? sin? ? 2

3 ? 0 ,……………6 分

??

? ? 4 cos?

得: sin(2? ? ? ) ? 0 ,又因为 ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ………………8 分 3

? ? ? 2 ?? ? 2 3

所以

? ????

? 5? 3



? ?

??

?

?? 6

所以 l 与 C 交点的极坐标分别为: (2, 5? ) , (2 3, ? ) .………………10 分

3

6

24.解析:(1)当 a ? 1时,| 2x ?1| ? | 2x ?1|? x ? 2

?? x ? ? 1

?

2

? 无解,

???4x ? x ? 2

??? 1 ?2 ?? 2

? ?

x? 1 2
x+2

?

0

?

x

?

1 2



? ?

x?1

?

2

??4x ? x ?

2

?

1 2

?

x

?

2 3

………………………3



综上,不等式的解集为{x 0 ? x ? 2} .………………5 分 3

(2)| 2x ? a | ? | 2x ?1|? x ? 2 ,转化为| 2x ? a | ? | 2x ?1| ?x ? 2 ? 0

令 h(x) ?| 2x ? a | ? | 2x ?1| ?x ? 2 ,

? ? ?

?5x ? a ? 3, x ? ? 1 2

因为

a>0,所以 h(x)

?

???x ?

?

a

?1, ?

1 2

?

x

?

a 2



? ??

3x ? a ?1, x ? a 2

………………8 分



a>0

下易得 h(x)min

?

a 2

?1 ,令

a 2

?1 ?

0, a得 a

?

2.a………………10





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